Le problème de Bâle

Une somme qui intrigue

En 1644, le mathématicien italien Pietro Mengoli pose une question toute simple en apparence : que vaut la somme de tous les inverses des carrés des entiers ?

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … = ?

On additionne un nombre infini de termes, mais ces termes deviennent vite minuscules. La somme totale semble donc s'approcher d'une valeur précise, sans qu'on sache laquelle.

Le saviez-vous ? On dit que cette somme « converge » : même infinie, l'addition ne part pas vers l'infini, elle se rapproche d'un nombre fini.

Le défi de Bâle

Le problème doit son nom à la ville suisse de Bâle, où enseignait la famille Bernoulli. Jacques Bernoulli, puis son frère Jean, tentent sans succès de trouver la valeur exacte de cette somme pendant près d'un demi-siècle.

Ils parviennent seulement à montrer qu'elle est comprise entre 1 et 2 — un encadrement frustrant pour des mathématiciens habitués à des résultats exacts.

Anecdote Jacques Bernoulli écrira lui-même qu'il serait très reconnaissant à quiconque parviendrait à résoudre cette énigme qui a « résisté à nos efforts ».

Euler entre en scène

En 1735, un jeune mathématicien suisse de 28 ans, Leonhard Euler, s'attaque au problème. Son idée est audacieuse : il traite une fonction trigonométrique, le sinus, comme si c'était un très long polynôme, en s'appuyant sur ses racines.

En comparant les deux écritures de cette fonction, terme à terme, il fait apparaître exactement la somme cherchée — reliée cette fois à un nombre bien connu : π.

Info Un polynôme peut s'écrire à partir de ses racines. Euler applique cette idée à une fonction infinie, ce qui n'avait encore jamais été justifié rigoureusement à l'époque.

Un raisonnement audacieux

La méthode d'Euler n'est pas immédiatement acceptée par tous : elle repose sur une extension hardie de propriétés vraies pour les polynômes finis à un objet infini. Il faudra plusieurs décennies, et d'autres mathématiciens, pour la rendre parfaitement rigoureuse.

Mais le résultat, lui, est confirmé numériquement dès le départ : Euler calcule les premiers termes de la somme et retrouve bien la valeur qu'il vient de démontrer.

Anecdote Ce succès rend Euler immédiatement célèbre dans toute l'Europe savante — lui qui n'était encore qu'un jeune chercheur peu connu.

Le résultat

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6

Le résultat surprend par le lien qu'il révèle : une somme construite uniquement à partir d'entiers fait apparaître π, le nombre du cercle. Rien, dans l'énoncé de départ, ne laissait deviner un tel lien.

Ce résultat porte aujourd'hui le nom de problème de Bâle, en souvenir de la ville où il fut posé et longtemps cherché.

Pourquoi ça compte encore

Ce résultat est un cas particulier d'une fonction beaucoup plus vaste étudiée plus tard par Riemann, la fonction zêta, aujourd'hui centrale en théorie des nombres et liée à l'un des plus grands problèmes non résolus des mathématiques.

Il illustre aussi une idée essentielle : deux domaines qui semblent sans rapport — ici l'arithmétique des entiers et la géométrie du cercle — peuvent être profondément liés.

Documents sources

L. Euler, De summis serierum reciprocarum, 1735.
Correspondance et écrits de Jacques Bernoulli sur les séries.